Menggambar grafik fungsi di ruang dimensi-n

Terkadang kita merasa bingung saat dihadapkan dengan soal yang berhubungan dengan menggambar suatu fungsi f(x,y). Yang sering membuat kita bingung adalah bagaimana kita menentukan titik-titik koordinat dari suatu fungsi tersebut agar cepat ditentukan bagaimanakah bentuk kurva yang dimaksudkan. Kali ini kita akan membahas bagaimana menggambar 3D di sumbu x,y,z
Sebelum kita memulainya coba perhatikan gambar di bawah ini :

Pernahkah kita berfikir bahwa apabila suatu wortel berada pada sumbu xyz maka saat kita memotongnya mengikuti bidang-xy hasilnya adalah penampang wortel yang terlihat seperti gb.b. (kita andaikan pisau sebagai bidang-xz yang memotong wortel).
Hal itu juga berlaku saat kita memotong wortel mengikuti bidang-yx seperti gb.c saat kita andaikan pisau sebagai bidang-yz yang membelah wortel. Saat kita membelah wortel mengikuti bidang-xy maka potongan wortel yang dihasilkan mempunyai bentuk penampang yang berbeda dengan penampang wortel sebelumnya seperti terlihat pada (gb.d).
Dan saat kita kembalikan ke bentuk semula, maka bentuk wortel terlihat seperti gambar pertama. Itu artinya, kita dapat menggambar suatu fungsi pada sumbu-xyz dengan potongan-potongan bidang-xz , bidang-yz, dan bidang-xy yang merupakan bidang dua dimensi.

Yang harus kita lakukan saat ingin menggambar suatu fungsi f(x,y) adalah sebagai berikut :
Contoh soal : Gambarlah fungsi f(x,y) =3 - x^2 - y^2 !

1. Gambarlah fungsi f(x,y) pada bentuk 2 dimensi :

Pada bidang-yz

Hal tersebut artinya kita menganggap bahwa x = 0
· saat x = 0, persamaan menjadi z = 3 - y^2
· gambarlah fungsi z = 3 - y^2 !
fungsi tersebut berupa parabola.
Apabila kalian lupa dengan gambar grafik fungsi ingatlah untuk menggambar fungsi z = 3 -
y^2 carilah koordinat titik potong terhadap sumbu-yz.

b. Pada bidang-xz

Hal tersebut artinya kita menganggap bahwa y = 0
· saat y = 0, persamaan menjadi z = 3 - x^2
· gambarlah fungsi z = 3 - x^2 !
fungsi tersebut berupa parabola.
Apabila kalian lupa dengan gambar grafik fungsi ingatlah untuk menggambar fungsi z = 3 - x^2 carilah koordinat titik potong terhadap sumbu-xz.

c. Pada bidang-xy

Hal tersebut artinya kita menganggap bahwa z = 0
· saat z = 0, persamaan menjadi 0 = 3 - x^2 - y^2
· gambarlah fungsi x^2 - y^2 = 3 !
fungsi tersebut berupa lingkaran.
Apabila kalian lupa dengan gambar grafik fungsi ingatlah untuk menggambar fungsi x^2 - y^2 = 3 carilah koordinat titik potong terhadap sumbu-xy.














2. Gabungkanlah potongan gambar dua dimensi tersebut pada sumbu-xyz sesuai dengan polanya masing-masing.

KPB di hati ku.

Walaupun begitu banyak prasyarat untuk menempuh mata kuliah ini seperti kalkulus integral maupun kalkulus diferensial, namun masih banyak mahasiswa yang antusias mengikuti mata kuliah ini. Hal tersebut dapat dilihat dari banyakknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah ini hingga melebihi kuota yang sudah ditetapkan. Entah karena mengulang maupun memperdalam ilmu mengenai KPB setiap mahasiswa mempunyai pendapat yang berbeda-beda mengenai mata kuliah ini.

RIKA
Aku suka KPB saat memadukan geometri dan aljabar. Woooww...sangat menarik, tetapi diperlukan pemahaman yang lebih untuk mempelajarinya. Yang paling tidak aku sukai saat belajar KPB adalah menghitung luasan di bawah kurva karena kesulitan dalam menentukan batas-batas luasan.
Aku sangat berharap kuliah KPB lebih menarik lagi, kerja kelompok lebih diperbanyak, dimana setiap kelompok diberi tugas mempelajari sub bab atau materi tertentu kemudian mensharingkan kepada teman atau kelompok lain.

>>>>>>>****>>>>>>>>

PAULINA

Kalau aku suka KPB saat menghitung luasan dibawah kurva karena selain mengasah kemampuan menggambar dimensi tiga juga memerlukan kemahiran untuk mengintegralkan, namun kadang-kadang mengalami kesulitan dalam memotong/mengiris serta menentukan batas bawah dan batas atanya. Kemudian hal yang kurang menyenangkan adalah menentukan nilai maksimum dan minimum karena apabila D=0 belum dapat ditentukan apakah maksimum/minimum sehingga perlu dicek kembali tapi untuk mengeceknya itu binggung . . . bagaimana cara mengeceknya he. ..
Aku berharap kuliah KPB dibuat semenarik mungkin, terutama pada awal-awal kuliah agar mahasiswa tertarik dengan KPB sehingga saat belajar KPB mereka merasa senang.

>>>>>>>****>>>>>>>>

EMBI
Hal yang paling aku sukai saat kuliah KPB adalah waktu menggambar karena menyenangkan sekaleeeeee!!!!!!! Aku tidak terlalu suka ketika memasuki materi kekontinuan, maksimum/minimum relatif, wah. . . . .pusing deh!!!!! Harapanku kuliah KPB dibuat lebih menarik lagi, kerja kelompoknya
diperbanyak karena belajar dengan
teman-teman mengasyikkan dan membuat kita lebih “dong” tentang KPB.

>>>>>>>****>>>>>>>>

BRAM

Bab yang aku sukai mengikuti kuliah KPB adalah tentang menggambar grafik, terutama grafik pada dimensi 3. Kuliahnya sangat menumbuhkan kebiasaan aktif bagi mahasiswa. Yang membuat tidak begitu suka adalah materi tentang tripel integral dan kuliahnya sering ganti hari.Aku berharap banget sekali-kali kuliahnya diluar kelas agar tidak jenuh.

>>>>>>>****>>>>>>>>

ITA

Aku tertarik KPB saat menggambar 3D karena menyenangkan, selain itu saat kita mempelajari hubungan antara perhitungan aljabar dengan bentuk geometrisnya. Bagian yang tidak aku suka adalah memahami suatu teorama kontinuitas, sampai saat ini masih ga' dong apa maksudnya!! Aku berharap
penyampaian mata kuliah kalkulus lebih memperdalam materi, dan interaktif antar
kelompok kerja.

Pesona Kalkulus Peubah Banyak

Keindahan KPB

KPB berhubungan dengan bilangan dan integral, merupakan matakuliah yang kadang membuat dahi berkerut karena dari namanya kelihatan sulit untuk dipelajari ataupun orang membenci mata kuliah ini. Sebenarnya kalkulus diciptakan oleh manusia yang pasti mengandung tujuan-tujuan tertentu yang mempunyai nilai kemanusiaan ataupun humanistic.

Menurut prof.Dr.Frans Susilo Sj (hidup : 2008) matematika mempunyai tiga nilai humanistic yaitu keindahan, nilai linguistic, dan nilai histori. Karena KPB merupakan bagian dari matematika maka KPB juga mempunyai nilai-nilai tersebut.Keindahan yang dijelaskan lewat kesetaraan, keselarasan, keseimbangan, keteraturan, keseragaman, dan keutuhan. Tetapi penilaian akan keindahan sering bersifat subjektif yaitu tergantung pada selera dan kepribadian orang yang menilai. Indah untuk satu generasi, belum tentu indah untuk generasi berikutnya. Jadi tetap tidak mudah untuk mendiskripsikan keindahan seperti halnya keindahan dalam seni, keindahan dalam KPB juga sulit didiskripsikan.

Keindahan dalam KPB memuat unsur-unsur yang sangat khs misalnya mencari hubungan antara kemiringan dan nilai suatu turunan,menemukan metode baru yang lebih “cantik” dalam arti lebih sederhana, singkat dan mudah dipahami. Misalnya untuk mencari luasan dibawah kurva dapat digunakan berbagai macam metode yang berbeda mulaidari cara memotong, memberi batas, dan mengintegralkannya. Selain itu juga dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, contohnya selama ini kita hanya tahu cara menghitung bangun-bangun yang bentuknya seperti kerucut, tabung, belah ketupat, dan lain-lain.Tetapi pernahkah terbelesit dalam pikiran kita berapakaha luas satu lembar daun singkong itu? Nah dengan mempelajari kalkulus peubah banyak (KPB) kita dapat menyelesaikan permasalahan tersebut.

Perkembangan kalkulus merupakan salah satu hal yang menarik. Misalnya De Scrates yang menggabungkan antara ilmu geometri dan aljabar yang saat ini disebut Geometri Analitik. Kemudian ditemukan teori dasar kalkulus yaitu definisi dari konsep limit oleh Cauchy, selanjutnya kita mengenal kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang disumbangkan oleh Leibnizh. Dari sini kalkulus mulai berkembang dan semakin banyak ilmu yang disumbangkan oleh para ilmuwan tentang kalkulus.

Sejarah perkembangan kalkulus ini mempunyai histori yang sangat bermakna karena memacu untuk terus mengembangkan kalkulus guna membantu manusi untuk menemukan keindahan kalkulus.

Paper terkait dengan kalkulus

1. Chromatic Uniqueness of Complete Bipartite Graphs With Seven Edges Deleted - TABLE 1 [pdf]
Submitted for Publication (2005)

2. Chromatic Uniqueness of Complete Bipartite Graphs With Seven Edges Deleted (DETAIL PROOF) Submitted for Publication (2005) by H. Roslan and Y.H. Peng, Departement of Mathematic and institute of Mathematical Research University Putra Malaysia [pdf]

3. Chromatic Uniqueness of Complete Bipartite Graphs With Seven Edges Deleted|Submitted for Publication (2005) by H. Roslan and Y.H. Peng, Departement of Mathematic and institute of Mathematical Research University Putra Malaysia| [pdf]

4. Chromatic Uniqueness of Complete Bipartite Graphs With Five or Six Edges Deleted | Submitted for Publication (2005)| [pdf]

5. Chromatic Equivalence Classes of Certain Generalized Polygon Trees | Discrete Mathematics Vol 172 103--114 (1997) [pdf] [html]

sumber informasi : http://www.fsas.upm.edu.

____________________________________________________________________

1. Garrett, P., (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota. Retrieved 6^th May 2007 from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf

2. Keisler, H. J., (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals" Retrieved 6^th May 2007 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc1.pdf

3. Faraz, H., (2006). "Understanding Calculus" Retrieved Retrieved 6^th May 2007 from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)

4. Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology. Retrieved 6 ^th May 2007 from http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf

5. Crowell, B., (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6^th May 2007 from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf

sumber informasi : http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus